قىسىم پۈتۈنگە تەڭ بولامدۇ؟

ماتېماتىكا بىلىملىرى بىر قاپقا ئاق - قارا شاھمات ئۇرۇقلىرى قاچىلانغان بولسا، قايسى رەڭدىكى ئۇرۇقنىڭ كۆپلۈكىنى قانداق بىلگىلى بولىدۇ؟ بۇنىڭ بىر چارىسى ئۇلارنى بىر - بىرلەپ ساناپ سېلىشتۇرۇش؛ يەنە بىر چارىسى ئاخىرىغىچە بىر ئاق، بىر قارىدىن ئېلىش، ئەڭ ئاخىرىدا قايسى رەڭدىكىسى ئېشىپ قالسا، شۇ رەڭدىكى ئۇرۇق كۆپ بولىدۇ، ئىككىلىسى تەڭ تۈگىسە، ئىككى خىل ئۇرۇق تەڭ بولىدۇ. ئەمما، قاپقا چەكسىز كۆپ ئۇرۇق قاچىلانغان بولسا، ئۇرۇقلارنى ئايرىم - ئايرىم ساناپ سېلىشتۇرغىلى بولمايدۇ، چۈنكى، كېمىدە ئۇرۇقنىڭ بىر خىلى چەكسىز كۆپ - تە! بىراق، ئىككىنچى ئۇسۇل كارغا كېلىدۇ: ئۇرۇقلارنى جۈپ - چۈپى بىلەن بىرنەچچە قېتىم ئالغاندىن كېيىن، قاپتا ئېشىپ قالغان شۇ رەڭدىكى ئۇرۇق كۆپ بولىدۇ، ئەگەر بىر قارىنى ئالغاندىن كېيىن ھامان يەنە بىر ئاقنى ئالغىلى بولسا؛ بىر ئاقنى ئالغاندىن كېيىنمۇ ھامان يەنە بىر قارىنى ئالغىلى بولسا، بۇ، ئىككى خىل ئۇرۇقنىڭ تەڭلىكىنى چۈشەندۈرىدۇ. پۈتۈن قىسىمدىن چوڭ بولىدۇ، بۇ قەدىمىي ھەم ھېچكىم گۇمانلانمايدىغان ھەقىقەت، بىر ئالما ئۈچ پارچىگە بۆلۈنسە، پۈتۈن ئالما ھەرقانداق بىر پارچىسىدىن چوڭ بولىدۇ. لېكىن، بۇ گەپ سانى چەكلىك شەيئىلەرگىلا قارىتىپ ئېيتىلغان.17 - ئەسىردە ئۆتكەن بۈيۈك ئالىم گالىلېي چەكسىز كۆپ جىسىملاردا ئەھۋال باشقىچە بولىدىغانلىقىنى بايقىدى. مەسىلەن، بىرەيلەن سىزدىن: «پۈتۈن سان بىلەن جۈپ ساننىڭ قايسىسى كۆپ» دەپ سورىسا، سىز: «ئەلۋەتتە پۈتۈن سان كۆپ، تېخى بىر ھەسسە كۆپ» دەپ جاۋاب بېرىشىڭىز مۇمكىن. بىردىن100 گىچە سانلار ئىچىدە،100 پۈتۈن سان، ئاران50 جۈپ سان بار. ناۋادا پۈتۈن سان ۋە جۈپ سانلار چەكسىز كۆپ بولسىچۇ، بىز «بىرگە بىر ماسلىق» ئۇسۇلى بويىچە سېلىشتۇرۇپ كۆرەيلى: ...... ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,0 ,1- ,2- ,3- ...... ...... ,12 ,10 ,8 ,6 ,4 ,2 ,0 ,2- ,4- ,6- ...... ھەربىر پۈتۈن سانغا نىسبەتەن ئۇنىڭغا ماس كېلىدىغان بىر جۈپ ساننى تاپالايمىز، ئەكسىچە، ھەربىر جۈپ سانغا نىسبەتەنمۇ چوقۇم ئۇنىڭغا ماس كېلىدىغان بىر پۈتۈن ساننى تاپالايمىز، بۇ پۈتۈن سانلار بىلەن جۈپ سانلارنىڭ بىرگە بىر ماس كەلگەنلىكى، يەنى پۈتۈن سانلار بىلەن جۈپ سانلارنىڭ سانى تەڭ ئىكەنلىكىنى چۈشەندۈرىدۇ. نېمە ئۈچۈن مۇنداق يەكۈن كېلىپ چىقىدۇ؟ چۈنكى، بىز ھازىر مۇزاكىرە قىلىۋاتقان پۈتۈن سانلار بىلەن جۈپ سانلار چەكسىز كۆپ، چەكسىز بولغان ئەھۋالدا، پۈتۈن قىسىمغا تەڭ بولۇشى مۇمكىن. مۇشۇ ئىدىيىنىڭ ئىلھامى بىلەن،19 - ئەسىرنىڭ ئاخىرىدا گېرمانىيە ماتېماتىكى كانتور توپلام نەزەرىيىسىنى بەرپا قىلدى. ئۇ: قىسىم بىلەن پۈتۈن ئوتتۇرىسىدا بىرگە بىر ماسلىق مۇناسىۋىتى تۇرغۇزۇشقا بولىدىغانلىقىنى ئېچىپ بەردى، بۇ چەكسىز كۆپ ئېلېمېنتلارنى ئىچىگە ئالغان توپلامنىڭ ماھىيەتلىك خۇسۇسىيەتلىرىنىڭ بىرىدۇر، ئۇ يەنە بىزگە: چەكلىك ئەھۋالدا ئېرىشكەن تېئورېمىنى چەكسىز ئەھۋالغا خالىغانچە تەتبىقلىماسلىقنىمۇ ئۇقتۇرىدۇ.